Métodos Para Resolver Integrales

Integrales por el método de sustitución  

el método de integración por sustitución o cambio de variables se basa en la derivada de la función compuesta



Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable y, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

Pasos para integrar por sustitución



Ejercicios de integrales por sustitución





Método de integración por partes

La técnica de la integración por parte es bastante útil para encontrar integrales complejas llevándolas a integrales más sencillas. Esta técnica se basa en la derivada de un producto. En efecto, debemos recordar que



Ejercicios de integrales por partes




Integrales trigonométricas

Una integral se denomina trigonométrica cuando el integrando de la misma está compuesto de funciones trigonométricas y constantes. Para su resolución desde luego que son válidos los teoremas de integración.
En lo general se deben aplicar las siguientes sugerencias:
1. Usar una identidad trigonométrica y simplificar es útil cuando se presentan funciones trigonométricas.
2. Eliminar una raíz cuadrada si se presenta normalmente después de completar un cuadrado o una sustitución trigonométrica.
3. Reducir una fracción impropia.
4. Separar los elementos del numerador de una fracción entre el denominador de la fracción.
5. Multiplicar por una forma unitaria g(x)/g(x) que al multiplicar por el integrando f(x) permita modificar adecuadamente [f(x)g(x)]/g(x).
6. Probar sustituir f(x) por 1/(1/f(x)).
Es necesario tener siempre a la mano una tabla de identidades trigonométricas y sustituyendo adecuadamente, llegarás a las “fórmulas básicas
ejercicio 1- {\int(\cos x - sen\, x )dx}
Aplicando integrales inmediatas de funciones trigonométricas tenemos:
{\int(\cos x - sen\, x )dx = sen\, x + \cos x +C}
 ejercicio 2- {\int(e^x \cos e^x)dx}
Aplicando el cambio de variable {u = e^x}, tenemos una integral inmediata, entonces:

{\int(e^x \cos e^x)dx = sen\, e^x + C}


Integración por sustitución trigonométrica

Las sustituciones que involucran funciones trigonométricas se pueden llevar a cabo en aquellas integrales cuyo integrando contiene una expresión de la forma:

$\displaystyle {\sqrt{a^{2} - b^{2}x^{2}},\;\sqrt{a^{2} + b^{2}x^{2}}, \sqrt{b^{2}x^{2} - a^{2}}}$ con $a > 0$ y $b>0$

La sustitución trigonométrica permite transformar una integral en otra que contiene funciones trigonométricas cuyo proceso de integración es más sencillo.

Estudiaremos cada uno de los casos como sigue:

a.
El integrando contiene una función de la forma $\displaystyle {\sqrt{a^{2} - b^{2}x^{2}}}$ con $a>0\; , \;b>0$

Se hace el cambio de variable escribiendo

$\displaystyle {x =\frac{a}{b}\;sen\;\theta,}$donde $\theta \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[\; y \;x\;\varepsilon \left]\frac{-a}{b}, \frac{a}{b}\right[$

Si $\displaystyle {x =\frac{a}{b}\;sen\;\theta}$ entonces $dx = \frac{a}{b}\;cos\;\theta\;d\theta$

Además: 

$\displaystyle {=\sqrt{a^{2}(1-sen^{2}\theta)} = \sqrt{a^{2}\;cos^{2}\theta} = \vert a\;cos\;\theta\vert = a\;cos\;\theta,}$ pues $a > 0$ y como

$\displaystyle {\theta \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$ entonces $cos\;\theta>0$ por lo que $\vert a\;cos\;\theta\vert = a\;cos\;\theta$

Luego: $\displaystyle {\sqrt{a^{2} - b^{2}x^{2}} = a\;cos\;\theta}$

Como $\displaystyle {x =\frac{a}{b}\;sen\;\theta}$ entonces $sen\;\theta = \frac{bx}{a} \; y\; \theta = arcsen\left(\frac{bx}{a}\right)$

Para este caso, las otras funciones trigonométricas pueden obtenerse a partir de la figura siguiente:

Ejemplos:

 

1.$\displaystyle {\int \sqrt{16 - x^{2}}\;dx\; x \varepsilon ]-4,4[}$

Sea $\displaystyle {x = 4\;sen\;\theta}$ con $\displaystyle {\theta\; \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$

$\displaystyle {dx = 4\;cos\;\theta\; d \theta}$

Luego: $\displaystyle {16-x^{2} = 16-16\;sen^{2}\theta = 16\;(1-sen^{2}\theta) = 16\;cos^{2}\theta}$

$\displaystyle {\sqrt{16-x^{2}} = 4\;cos\;\theta}$

Sustituyendo:

$\displaystyle {\int \sqrt{16-x^{2}}\;dx = \int 4\;cos\;\theta \cdot 4\;cos\;\theta\;d\theta = 16\int cos^{2}\theta\;d\theta}$

$\displaystyle {= 16\int \frac{1+cos\;2\theta}{2}\;d\theta = 8\int (1+cos\;2\theta)\;d\theta}$

$\displaystyle {= 8\;(\theta + \frac{1}{2}\;sen\;\theta) + C}$

$\displaystyle {= 8\theta + 4\cdot 2\;sen\;\theta\;cos\;\theta + C}$

$\displaystyle {= 8\theta + 8\;sen\;\theta\;cos\;\theta + C}$

Como $\displaystyle {x = 4\;sen\;\theta}$ entonces $\displaystyle {sen\;\theta = \frac{x}{4}}$ y $\displaystyle {\theta = arcsen\left(\frac{x}{4}\right)}$

Además $\displaystyle {\sqrt{16-x^{2}} = 4\;cos\;\theta}$ por lo que $\displaystyle {cos\;\theta = \frac{\sqrt{16-x^{2}}}{4}}$

Estos resultados también pueden obtenerse a partir de la figura siguiente:

Por último:

$\displaystyle {\int \sqrt{16-x^{2}}\;dx = 8\;\theta + 8\;sen\;\theta\;cos\;\theta + C}$

$\displaystyle {=8\;arcsen\left(\frac{x}{4}\right) + 8\cdot \frac{x}{4}\cdot \frac{\sqrt{16-x^{2}}}{4} + C}$

$\displaystyle {\int \sqrt{16-x^{2}}\;dx = 8\;arcsen\left(\frac{x}{4}\right) + \frac{x\sqrt{16-x^{2}}}{2} + C}$

2.$\displaystyle {\int \frac{dx}{x\sqrt{25-4x^{2}}},\; x \varepsilon \left]\frac{-5}{2},\frac{5}{2}\right[}$

Sea $\displaystyle {x = \frac{5}{2}\;sen\;\theta,\; \theta\; \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$

$\displaystyle {dx = \frac{5}{2}\;cos\;\theta\;d\theta}$

Luego $\displaystyle {25-4x^{2} = 25-4\cdot \frac{25}{4}\;sen^{2}\theta = 25-25\;sen^{2}\theta}$

$\displaystyle {25-4x^{2} = 25(1-sen^{2}\theta) = 25\;cos^{2}\theta}$

$\displaystyle {\sqrt{25-4x^{2}} = 5\;cos\;\theta}$

Sustituyendo

$\displaystyle {\int \frac{dx}{x\sqrt{25-4x^{2}}} = \int \frac{\frac{5}{2}\;cos\... ...sen\;\theta\cdot 5\;cos\;\theta} = \frac{1}{5}\int \frac{d\theta}{sen\;\theta}}$

$\displaystyle {=\frac{1}{5}\int csc\;\theta\;d\theta}$

$\displaystyle {=\frac{1}{5} \;ln\vert csc\;\theta - cot\;\theta\vert + C}$

Como $\displaystyle {x = \frac{5}{2}\;sen\;\theta}$ entonces $\displaystyle {sen\;\theta = \frac{2x}{5}}$ por lo que puede utilizarse la siguiente figura para dar el resultado final:

 

$\displaystyle {csc\;\theta = \frac{1}{sen\;\theta} = \frac{1}{\frac{2x}{5}} = \frac{5}{2x}}$

 

Luego:

$\displaystyle {\int \frac{dx}{x\sqrt{25-4x^{2}}} = \frac{1}{5}\;ln\left\vert\frac{5}{2x} - \frac{\sqrt{25-4x^{2}}}{2x} \right\vert + C }$

3.$\displaystyle {\int \frac{x^{2}\;dx}{\sqrt{4-x^{2}}},\; x \varepsilon ]-2,2[}$

Sea $\displaystyle {x = 2\;sen\;\theta\; \hspace{2cm} \theta\;\varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$

$\displaystyle {dx = 2\;cos\;\theta\;d\theta}$

Además: $\displaystyle {4-x^{2} = 4-4\;sen^{2}\theta = 4\;cos^{2}\theta}$

$\displaystyle { \sqrt{4-x^{2}} = 2\;cos\;\theta}$

$\displaystyle {\int \frac{x^{2}\;dx}{\sqrt{4-x^{2}}} = \int \frac{(2\;sen\;\theta)^{2}\;2\;cos\;\theta\;d\theta}{2\;cos\;\theta}= 4 \int sen^{2}\theta \;d\theta}$

$\displaystyle {= 4\int \frac{1-cos\;2\theta}{2}\;d\theta = 2 \int (1 - cos\;2\theta)\;d\theta}$

$\displaystyle {= 2\left(\theta - \frac{1}{2}\;sen\;2\theta\right) + C}$

$\displaystyle {= 2\theta - 2\;sen\;\theta\;cos\;\theta + C}$

$\displaystyle {= 2\;arcsen\left(\frac{x}{2}\right) - 2\;\cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{\sqrt{4-x^{2}}}{2} + C}$

$\displaystyle {= 2\;arcsen\left(\frac{x}{2}\right) - \frac{x\;(4-x^{2})}{2} + C}$


Integrales de fracción parcial 

Las fracciones parciales es un método de integración que permite resolver integrales de ciertas funciones racionales que no se pueden resolver por los otros métodos (formula directa, por partes, cambio de variable, etc.) 
para poder comprender mejor el tema ahí que definir que es una fracción raciona; se le llama fracción racional del tipo:
cuyo numerador y denominador son polinomios; sin embargo, si el exponente de los términos del numerador es igual o mayor al del denominador, la fracción se transforma a división: 
Pero, en el caso de una fracción donde el numerador es el el que tiene el exponente menor  y el denominador tiene el exponente mayor, la fracción puede transformarse en una suma de fracciones parciales por lo cual en denominador debe esta factorizado:
El proceso inverso incluye el uso de fracciones parciales, que tiene como objetivo encontrar la solución de las constantes involucradas:

Casos

CASO 1: FACTORES LINEALES DISTINTOS.

En este caso a cada factor lineal de la forma ax + b del denominador le corresponde una constante, se aumentara en numero de constantes dependiendo de cantos factores se tenga en el denominador.

Nota: Todas las integrales que utilicen este caso su resultado sera el logaritmo natural de cada uno de los factores.

CASO 2: FACTORES LINEALES REPETIDOS

El numero de factores será igual al grado (exponente) del polinomio; es decir; a cada factor lineal ax+b que figure n veces en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma :
Nota: Una de las integrales correspondientes a este caso da como resultado un logaritmo natural, mientras que las restantes se resuelven mediante un cambio de variables.

CASO3:FACTORES CUADRÁTICOS DISTINTOS

En este caso a cada factor le corresponderán dos constantes, de las cuales una de estas será el coeficiente del termino lineal. El denominador contiene factores de segundo grado, pero ninguno de estos se repite.
A todo factor no repetido de segundo grado, como  


CASO 4: FACTORES CUADRÁTICOS REPETIDOS

El denominador contiene factores de segundo grado y algunos de estos se repiten.
A todo factor de segundo grado repetido n veces, como 
Corresponderá la suma de n fracciones parciales, de la forma 

 



Calculo del área entre dos curvas

como lo sabemos la integral es el calculo del área bajo una curva ahora en el caso de que sean dos curvas el calculo se hará entre los limites determinados y se restaran las integrales de las 2 funciones o curvas están primero la dominante es decir la que se encuentra primero 

Pasos para hallar el área entre curvas 

1- graficar un bocetos de las curvas
2- determinar los limites igualando las funciones
3- hallar el determinante y ubicar la ecuación del área entre curvas
4- integrar

Ejemplos

1- Calcular el área limitada por la curva y=x^{2}-5x+6 y la recta y=2x.



2- Calcular el área limitada por la parábola y^{2}=4x y la recta y=x.



Volumen de solidos de revolución

Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de un eje. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta al girar un triángulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.



Método del disco. 

Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El volumen de este disco de radio R y de anchura ω es:
 Volumen del disco = R w 2 π
 Para ver cómo usar el volumen del disco y para calcular el volumen de un sólido de revolución general, se hacen n particiones en la grafica 
Estas divisiones determinan en el sólido n discos cuya suma se aproxima al volumen del mismo. Teniendo en cuenta que el volumen de un disco es la suma de Riemann asociada a la partición, y que da un volumen aproximado del sólido es: 

Formula del método de discos 


COMO HALLAR VÓLUMENES POR EL MÉTODO DEL DISCO (O ARANDELA) 

1. Dibujar la región y trazar sobre esta un segmento que sea PERPENDICULAR al eje de rotación. La región al hacerla girar alrededor del eje de rotación generará una sección transversal típica en forma de disco o arandela dependiendo el caso. 

2. Hallar: para el caso del disco el radio principal y para el caso de la arandela los radios interno y externo.
 
3. Establecer los límites de integración. 

4. Por último integrar para hallar el volumen deseado. 

Ejemplo

Hallar el volumen generado por el área bajo la curva generada por el segmento de recta 
3 1 x y = + , 0 ≤ x ≤12 ,
 que gira entorno al eje x. Solución: primero realicemos las gráficas. 

Método de corteza cilíndrica

Este método es muy similar al anterior anqué su formula varia debido a que llamamos cortezas a los anillos cilíndricos de poco grosor en vez del solido completo
los pasos son los mismos que en el método de discos por lo tanto pasaremos con los ejemplos

Ejemplos


Longitud de arco

Si se tiene una función f(x) derivable en un intervalo [a, b], entonces podemos medir la longitud de la gráfica en este intervalo. Esta longitud se conoce como la longitud del arco de la curva f(x)
Para encontrar la longitud de arco empleamos la siguiente fórmula que viene dada por la integral definida
Ejercicios

Ejemplo: Hallar la longitud del arco de la función y = x ^{\frac{3}{2}}  en el intervalo [0, 1].



Comentarios

Publicar un comentario